第二十四章 测度论（第2/2页）

当然，也真的只是基本概念而已。

“接下来，我们可以引入一些更加复杂的概念，比如说‘无穷大’。‘无穷大’这个概念也很复杂。我知道，在算学之外，这个概念也被一些人讨论。或许你们当中有一些人就思考过这样的问题——什么叫无穷大。而现在，丢掉你们脑子当中那些玄之又玄的定义。在算学里，无穷只有已知的两种。可数无穷和不可数无穷。所有整数的集合便被称为‘可数无穷’。不可数无穷比可数无穷更大，不存在比可数无穷更小的无穷……”

“所有实数的集合就是一个不可数无穷。而所有与‘所有实数的集合’等势的集合，就被称作‘连续统’。”讲话到这里，王崎笑了一下：“顺便一提，这个系统里面有相当一部分东西就是我证明的。换言之，这是我悟出来的东西。这一点必须强调一下。”

奧流脸色铁青。

“我本人和‘连续统假设’的故事，有空再讲给你们听。总而言之，你们知道这么个概念就行了。若要问‘可数无穷’和‘不可数无穷’之间的区别，那就简单说一下吧——这或许就是无大小的点到线与面之间的奥妙。”

“现在回到主题。我们通常所说的长度面积体积这些词，究竟是什么意思？”王崎双手撑在讲桌上：“为了更清楚的阐明这个主题，让我们把目光只集中在最简单的一维情形，也就是说，我们只考虑‘长度’这个词。我们希望，取出直线上的一部分，就有一个‘长度’存在。如果能做到这一点，那么类似的，面积和体积之类的字眼也可以类似的得以理解。”

“首先，我们可以做出这样的定义。一个直线，就是一个巨大的点集。”

“这个点集的每一个子集，包括它自身，都存在‘势’。这个势就是一个测度。”

“两个彼此本身不相交的子集的并集——也就是这个大点集的另一个子集，也有测度并且这个测度应该等于两者之和。简单来说，两个不相交不重叠的线段的总长度，就可以视作是它们各自长度的总和。”

“更进一步，三个不相交子集的测度之和也应该等于这三个子集并起来的集合的测度，四个也好，五个也好，依此类推，无穷个不相交子集的测度之和也应该等于把它们并起来得到的集合的测度。”

说到这里，王崎郑重地说道：“接下来，我们就可以做出最终的定义了。”

“一，空集对应的测度是零。二，若干个彼此不相交的子集，它们并在一起得到的子集的测度，刚好等于这些子集各自测度之和。三，如果把直线看作实数轴，那么从数轴上子点到丑点的线段对应的测度应当等于丑减去子。”

接着，王崎闭上眼睛，表情肃穆。

“就是人们通常所说的‘长度’的严密定义，而且是唯一正确的定义。”

当然，这句话略有些夸张。王崎刚才讲述的勒贝格测度【在这个世界，它被唤作“歌庭测度”】，只是测度当中的一种。事实上，这个世界也会存在其他测度体系。数学上也承认不同于这种测度的其他测度。

比如，地球物理学当中会涉及的另一种测度，狄拉克测度【本世界也唤作“无量测度”】

这就让很多数学家相信，实际上还有更加具有普遍性的测度，只是人类还没有理解到那一步。

但是，就现阶段来说，“长度”这个词得到了严格的定义，人类对算学的认知也到了更深的层次。

有那么一瞬间，奧流真的被震慑到了。他惊叹于这种严密的智慧。但是他依旧问道：“这有什么用呢？这不过是在玩文字游戏。这种游戏，我可以玩上一天……”

“是啊，有什么用呢。”身形一闪，王崎再一次出现在奧流的面前：“这个定义，恰好能让你意识到自身的渺小啊。”